Nombres premiers : répartition et mystères ouverts

On sait depuis Euclide que les nombres premiers sont en quantité infinie. Ce qui est plus récent — et encore incomplet — c'est la compréhension de la façon dont ils se répartissent parmi les entiers.

La question n'est pas anodine. Elle touche à l'une des conjectures les plus célèbres des mathématiques, que personne n'a encore prouvée après plus de 160 ans.

Le théorème des nombres premiers : une statistique, pas une carte

Le théorème des nombres premiers, démontré indépendamment par Hadamard et de la Vallée Poussin en 1896, dit quelque chose de précis sur la densité des premiers. Si on note π(n) le nombre de premiers inférieurs à n, alors :

π(n) ≈ n / ln(n)

Plus n est grand, plus cette approximation est précise. En pratique, ça signifie qu'autour d'un nombre N, la probabilité qu'un entier choisi au hasard soit premier est d'environ 1/ln(N). Plus les nombres sont grands, plus les premiers se raréfient — mais jamais complètement.

Ce théorème répond à la question "combien y en a-t-il autour de N" sans répondre à "où exactement sont-ils".

Les sauts entre premiers : une irrégularité persistante

Entre deux premiers consécutifs, il y a un "gap". Ces gaps semblent irréguliers. On a trouvé des jumeaux (3 et 5, 11 et 13, 17 et 19) séparés de 2, et des solitaires séparés de centaines d'unités. La conjecture des nombres premiers jumeaux — il en existe une infinité — est encore non prouvée.

Zhang Yitang a démontré en 2013 un résultat remarquable : il existe une constante finie K telle qu'il y a une infinité de paires de premiers séparés d'au plus K. Sa valeur initiale était 70 millions. En quelques mois de travail collaboratif, elle a été réduite à 246. On ne sait pas encore si elle peut descendre à 2.

L'hypothèse de Riemann : la question d'un million de dollars

La fonction zêta de Riemann est définie pour des nombres complexes et encode, d'une façon profonde, la distribution des premiers. Riemann a formulé en 1859 l'hypothèse que tous les "zéros non-triviaux" de cette fonction ont une partie réelle égale à 1/2.

Cela semble technique. Les conséquences ne le sont pas. Si l'hypothèse est vraie, on peut contrôler l'erreur dans l'estimation de π(n) de façon très précise. Si elle est fausse, l'erreur peut être bien plus grande — et des propriétés fondamentales de la distribution des premiers deviendraient plus imprévisibles.

L'hypothèse de Riemann est l'un des sept problèmes du millénaire, dont la solution vaut un million de dollars (Prix Clay). Elle a résisté à tous les meilleurs mathématiciens depuis 1859.

Pourquoi ça échappe encore

La difficulté de fond est que les premiers sont définis multiplicativement (ils ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes), mais ils se distribuent dans une structure additive (les entiers naturels). Connecter ces deux structures — multiplication et addition — est profondément difficile.

C'est précisément cette tension qui rend l'hypothèse de Riemann si dure à attaquer. Les outils usuels d'analyse ne semblent pas adaptés à un objet qui vit à l'intersection des deux structures.

Les premiers sont simples à définir. Leur distribution est un mystère que le meilleur de la pensée mathématique n'a pas encore percé. C'est une des raisons pour lesquelles les mathématiques restent une discipline vivante : on peut encore poser des questions simples sans réponse.