Le problème des n corps

Newton a résolu le problème des deux corps en 1687. Deux masses qui s'attirent gravitationnellement suivent des ellipses (ou des paraboles, ou des hyperboles) — des trajectoires parfaitement prévisibles, pour toujours. La solution est exacte, complète, définitive.

Ajoutez un troisième corps. Tout s'effondre.

Pourquoi deux, c'est simple

La beauté du problème à deux corps est qu'on peut toujours se ramener à un problème à un corps en changeant de référentiel. La masse réduite permet d'écrire une équation différentielle d'ordre 2 qu'on sait résoudre analytiquement. La conservation de l'énergie et du moment angulaire fournissent deux constantes qui fixent la trajectoire. C'est propre.

Pour trois corps, les symétries s'effondrent. On a dix constantes du mouvement (énergie, quantité de mouvement, moment angulaire) pour dix-huit degrés de liberté (trois corps × trois positions × trois vitesses). Il en manque huit pour rendre le système intégrable. Et ces huit constantes manquantes, on ne peut pas les trouver — on a montré qu'elles n'existent pas sous forme de fonctions algébriques des variables du problème.

Poincaré et la naissance du chaos

Henri Poincaré a gagné le Prix du Roi Oscar de Suède en 1889 pour une tentative de solution du problème des n corps. Mais en révisant son article pour la publication, il a découvert une erreur — et en corrigeant cette erreur, il a mis le doigt sur quelque chose de beaucoup plus profond et perturbant.

Il a trouvé que les trajectoires de trois corps peuvent être infiniment sensibles aux conditions initiales. Un changement infime dans la position ou la vitesse initiale peut mener à des trajectoires totalement différentes après un temps suffisant. Cette sensibilité aux conditions initiales est ce qu'on appellera plus tard le chaos.

Ce que Poincaré avait découvert, c'est que même un système parfaitement déterministe — entièrement décrit par des équations sans terme aléatoire — peut produire un comportement imprévisible en pratique. Pas parce que les équations sont imprécises. Parce que la mesure initiale l'est toujours un peu, et que l'erreur grandit exponentiellement.

Le chaos n'est pas le désordre

Une confusion fréquente : le chaos mathématique n'est pas le désordre. C'est la sensibilité exponentielle aux conditions initiales dans un système déterministe. Le système suit des lois précises — mais deux trajectoires initialement proches divergent de façon exponentielle.

L'exposant de Lyapunov mesure cette divergence. Pour le système solaire, il est positif — ce qui signifie que les trajectoires des planètes sont en principe imprévisibles sur des horizons de quelques millions d'années, même avec les équations exactes et des mesures initiales très précises.

Rassurez-vous : sur des échelles de quelques milliers d'années, le système solaire est stable en pratique. Mais "stable en pratique" et "prévisible en principe" sont deux choses différentes.

Solutions particulières et la beauté du chaos contrôlé

Le problème des n corps n'est pas complètement désespéré. Il admet des solutions particulières stables pour certaines configurations : le problème restreint des trois corps (un troisième corps de masse négligeable), les points de Lagrange (cinq positions d'équilibre autour de deux grands corps), des configurations de choreographies où plusieurs corps se poursuivent sur une même courbe.

Ces solutions particulières sont exploitées en astronomie et en astronautique — les points de Lagrange hébergent des satellites comme James Webb. Le chaos général du problème à n corps se dompte localement, pour certaines configurations, sans être résolu globalement.

C'est typique des systèmes non-linéaires : imprévisibles en général, domptés dans des niches particulières.